Curso personal de matrices de Hadamard · Lección 1

Una matriz formada solamente por unos y menos unos puede esconder una estructura de equilibrio perfecto. Su definición cabe en pocas líneas, pero conduce a una conjetura matemática que continúa abierta después de más de un siglo.

1. Una definición sorprendentemente sencilla

Una matriz de Hadamard es una matriz cuadrada cuyas entradas pertenecen exclusivamente al conjunto \(\{-1,+1\}\) y cuyas filas son mutuamente ortogonales.

La igualdad anterior resume dos propiedades:

• El producto escalar de cada fila consigo misma es \(n\), porque contiene \(n\) entradas cuyos cuadrados son iguales a 1.
• El producto escalar de dos filas diferentes es 0.

2. ¿Qué significa que dos filas sean ortogonales?

En geometría estamos acostumbrados a decir que dos líneas son perpendiculares. En álgebra lineal, dos vectores son ortogonales cuando su producto escalar es igual a cero.

Consideremos los vectores:

Su producto escalar es:

Por tanto, \(u\) y \(v\) son ortogonales.

3. Una matriz de Hadamard de orden 4

El primer ejemplo suficientemente grande para mostrar toda la estructura es la siguiente matriz:

Cada fila contiene cuatro entradas. Por eso, el producto escalar de cualquier fila consigo misma es:

Probemos ahora las filas segunda y tercera:

Lo mismo ocurre con cualquier pareja de filas diferentes. Por tanto:

4. Normalizar una matriz

Multiplicar una fila o una columna completa por \(-1\) no destruye la ortogonalidad. Tampoco la destruye intercambiar filas o columnas.

Estas operaciones permiten transformar cualquier matriz de Hadamard en una matriz equivalente cuya primera fila y primera columna contienen solamente \(+1\).

La normalización no cambia la existencia de la matriz. Simplemente selecciona una representación especialmente conveniente entre muchas matrices equivalentes.

5. ¿Por qué el orden debe ser múltiplo de 4?

Podemos demostrar esta condición utilizando solamente productos escalares y un argumento de conteo.

6. La conjetura de Hadamard

Los órdenes 1 y 2 poseen matrices de Hadamard. Para órdenes mayores, acabamos de demostrar que solo debemos considerar múltiplos de 4. La pregunta inversa es el corazón del problema:

La afirmación es fácil de comprender, pero todavía no se conoce una demostración general.

Se han desarrollado numerosas construcciones que producen matrices para familias infinitas de órdenes. También se han resuelto muchos órdenes individuales mediante teoría, programación y búsquedas computacionales. Sin embargo, esos éxitos no constituyen todavía una demostración para todos los múltiplos de 4.

7. Una interpretación mediante distancias

Podemos convertir cada fila de signos en una palabra binaria mediante la correspondencia:

Dos filas diferentes de una matriz de Hadamard coinciden en \(n/2\) posiciones y difieren en las otras \(n/2\). Por tanto, las palabras binarias correspondientes están a distancia de Hamming:

8. El determinante máximo

La identidad fundamental también permite calcular el valor absoluto del determinante de una matriz de Hadamard.

Tomando determinantes en:

obtenemos:

Como \(\det(H^{\mathsf T})=\det(H)\), resulta:

Este es precisamente el máximo permitido por la desigualdad de Hadamard para una matriz de orden \(n\) cuyas entradas tienen valor absoluto menor o igual que 1.

9. Una primera comprobación por computadora

H = [
    [1,  1,  1,  1],
    [1, -1,  1, -1],
    [1,  1, -1, -1],
    [1, -1, -1,  1],
]

n = len(H)

assert all(len(fila) == n for fila in H)
assert all(valor in (-1, 1) for fila in H for valor in fila)

for i in range(n):
    for j in range(n):
        producto = sum(H[i][k] * H[j][k] for k in range(n))
        esperado = n if i == j else 0
        assert producto == esperado

print("H es una matriz de Hadamard de orden", n)

H es una matriz de Hadamard de orden 4

10. Ejercicios para comprobar la comprensión

11. Lo que debemos haber comprendido

• Una matriz de Hadamard tiene entradas exclusivamente iguales a \(+1\) o \(-1\).
• Sus filas y columnas son mutuamente ortogonales.
• Su identidad fundamental es \(HH^{\mathsf T}=nI_n\).
• Para \(n>2\), su orden debe ser múltiplo de 4.
• Esa condición necesaria no demuestra la conjetura de Hadamard.
• Una matriz propuesta puede verificarse con relativa facilidad, aunque descubrirla sea extraordinariamente difícil.

12. Preguntas para mis profesores

13. Fuentes y alcance