Lic. Carlos Enrique Loria Beeche
De una curiosidad televisiva a una demostración rigurosa sobre la singularidad del número 73.
Quienes vimos The Big Bang Theory recordamos que Sheldon Cooper tenía opiniones firmes sobre prácticamente todo. Desde la posición exacta donde debía sentarse en el sofá hasta la manera correcta de organizar una rutina, Sheldon estaba convencido de que muchas preguntas tenían una única respuesta racional.
También tenía una respuesta para una pregunta bastante particular:
¿Cuál es el mejor número?
Para Sheldon, la respuesta era 73.
No se trataba únicamente de una preferencia personal. El personaje ofrecía una explicación matemática:
- 73 es un número primo.
- Es el primo número 21.
- Al multiplicar sus dígitos, 7 × 3, obtenemos precisamente 21.
- Al invertir sus dígitos, 73 se convierte en 37.
- 37 es el primo número 12.
- Y 12 es 21 escrito al revés.
- Además, 73 escrito en binario es 1001001, un número capicúa: se lee igual de izquierda a derecha que de derecha a izquierda.
La escena funcionaba perfectamente como comedia porque Sheldon presentaba aquella colección de curiosidades con la solemnidad de quien acaba de resolver uno de los grandes problemas de la ciencia.
Pero había un detalle importante: las propiedades matemáticas que mencionaba eran verdaderas.
La ciencia detrás de la comedia
The Big Bang Theory era una comedia, pero la ciencia que aparecía en sus episodios no se inventaba descuidadamente.
La producción contaba con asesoría científica para revisar los diálogos, las referencias académicas, las fórmulas y las ecuaciones que aparecían en las pizarras.
Uno de sus principales asesores fue David Saltzberg, profesor de Física y Astronomía de la Universidad de California en Los Ángeles —UCLA— y físico experimental de partículas. Saltzberg revisaba los guiones y ayudaba a preparar buena parte del contenido científico que aparecía en pantalla.
La prioridad seguía siendo hacer una buena comedia, pero se procuraba que las referencias científicas fueran reales y que las fórmulas escritas en las pizarras tuvieran sentido.
La defensa del número 73 no era, por tanto, una simple sucesión de términos matemáticos inventados para hacer parecer inteligente al personaje.
Lo inesperado ocurrió después.
Aquella ocurrencia televisiva despertó el interés de matemáticos profesionales. Las propiedades mencionadas en la serie fueron expresadas mediante una definición formal, dieron origen a la llamada conjetura de Sheldon y finalmente condujeron a una demostración matemática.
El número 73 pasó así de ser el protagonista de un chiste televisivo a convertirse en el centro de un verdadero teorema.
¿Qué hace especial al 73?
Un número primo es aquel que solo puede dividirse exactamente entre 1 y él mismo.
Los primeros números primos son:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89…
Cuando decimos que 73 es el primo número 21, significa que ocupa la posición 21 en esa lista.
Y aquí comienza la curiosidad señalada por Sheldon:
7 × 3 = 21
Es decir, el producto de los dígitos de 73 coincide con la posición que ocupa entre los números primos.
Además, al invertir 73 obtenemos 37. Este también es primo y ocupa la posición 12:
73 → 37
21 → 12
Los matemáticos formalizaron estas relaciones mediante dos condiciones:
- Propiedad del producto: el producto de los dígitos del primo es igual a la posición que ocupa dentro de la secuencia de números primos.
- Propiedad del espejo: al invertir los dígitos del primo, se obtiene el primo cuya posición es también la inversión de la posición original.
Un número primo que cumple ambas condiciones recibe el nombre de primo de Sheldon.
Conjetura de Sheldon
Un primo de Sheldon es un número primo que cumple simultáneamente la propiedad del producto y la propiedad del espejo.
La conjetura de Sheldon afirmaba:
El número 73 es el único primo de Sheldon.
Es decir, se proponía que no existía ningún otro número primo cuya posición en la sucesión de los primos coincidiera con el producto de sus dígitos y que, además, conservara esa relación al invertir tanto el primo como su índice.
Posteriormente, Carl Pomerance y Chris Spicer demostraron que la conjetura era correcta:
73 es, en efecto, el único primo de Sheldon.
Con esa demostración, la afirmación dejó de ser una conjetura y pasó a convertirse en un teorema.
De la conjetura al teorema
Un número primo que cumple simultáneamente la propiedad del producto y la propiedad del espejo recibe el nombre de primo de Sheldon.
La conjetura de Sheldon afirmaba:
73 es el único primo de Sheldon.
Una conjetura es una afirmación matemática que parece verdadera, pero que todavía no ha sido demostrada.
Posteriormente, Carl Pomerance y Chris Spicer demostraron que la conjetura era correcta:
73 es, en efecto, el único primo de Sheldon.
Con esa demostración, la conjetura pasó a convertirse en teorema.
Una aclaración necesaria
Aunque me considero matemático —mi formación en Ciencias de la Computación incluyó casi todos los créditos necesarios para completar también un bachillerato en Matemática Pura—, la matemática presentada en este artículo no es un trabajo original mío.
Mi propósito es divulgar, explicar y referenciar el trabajo de los matemáticos que formularon y demostraron la llamada conjetura de Sheldon.
El mérito matemático corresponde a sus autores. Aquí solamente intento contar la historia, explicar su significado y acompañarla con un pequeño experimento en Python.
¿Cómo demostraron que 73 es único?
Comprobar que 73 cumple las propiedades es sencillo.
Lo difícil era demostrar que ningún otro número primo, por grande que fuera, podía cumplirlas también.
Pomerance y Spicer no se limitaron a revisar una enorme lista de números primos. Primero utilizaron resultados conocidos sobre la distribución de los primos para demostrar que cualquier posible candidato debía encontrarse dentro de un límite finito.
Después redujeron considerablemente la búsqueda.
Como la posición del primo debe ser igual al producto de sus dígitos, esa posición solo puede estar formada por factores 2, 3, 5 y 7: los únicos números primos que pueden aparecer al multiplicar dígitos decimales.
Los autores utilizaron entonces estimaciones rigurosas para determinar cuántos dígitos tendrían los posibles candidatos y, en muchos casos, cuáles debían ser algunos de sus primeros o últimos dígitos.
Con esa información fueron descartando todos los casos incompatibles con la propiedad del producto o con la propiedad del espejo.
La computadora ayudó a realizar una búsqueda finita y cuidadosamente delimitada, pero la fortaleza de la demostración no consiste simplemente en haber probado muchos números.
La parte esencial fue demostrar primero que todos los candidatos posibles estaban incluidos en esa búsqueda.
Al final, solo sobrevivió uno:
73
Así quedó demostrado que 73 es el único primo de Sheldon.
Un pequeño experimento en Python
No intentaremos reproducir toda la demostración de Pomerance y Spicer. Eso requeriría herramientas avanzadas de teoría de números y cálculos mucho más especializados.
Lo que sí podemos hacer es escribir un programa que genere los primeros 200 000 números primos, determine qué posición ocupa cada uno y compruebe las propiedades mencionadas por Sheldon.
Este experimento no sustituye la demostración matemática. Solamente examina una cantidad determinada de casos.
El código fue desarrollado para este artículo por Carlos Enrique Loría Beeche con asistencia de ChatGPT de OpenAI. Utiliza algoritmos matemáticos conocidos y aplica las definiciones presentadas en los trabajos académicos citados.
Laboratorio interactivo: los primos de Sheldon
Este programa examina los primeros 200 000 números primos. Puede ver el código fuente o ejecutarlo directamente desde esta página. No necesita tener Python instalado.
Ver el código Python
El entorno Python se cargará cuando pulse el botón.
El resultado aparecerá aquí.
En el laboratorio deberias poder "Ejecutar código", pero en caso de que no... te muestro el resultado...Resultado obtenido
Esta es la salida que produjo el programa al ejecutarlo:
Índices examinados: 200,000
Primos con la propiedad del producto:
p_7 = 17
p_21 = 73
p_181,440 = 2,475,989
Primos que cumplen producto y espejo:
p_21 = 73; al invertirlo obtenemos 37,
que es el primo número 12
El experimento encuentra tres primos con la propiedad del producto:
17, 73 y 2 475 989
Sin embargo, solamente 73 cumple también la propiedad del espejo.
Buscar no es lo mismo que demostrar
El programa examinó 200 000 números primos y encontró que 73 es el único que cumple ambas propiedades dentro de ese intervalo.
Podríamos aumentar el límite y revisar millones de casos. Cada nueva ejecución aportaría más evidencia, pero seguiría existiendo una pregunta:
¿Cómo sabemos que no aparecerá otro caso muchísimo más adelante?
Ese es precisamente el límite de la experimentación computacional.
Un programa puede comprobar una enorme cantidad de casos. Una demostración matemática explica por qué no puede existir ningún contraejemplo, incluso entre los números que nunca podríamos examinar individualmente.
Por eso el programa permite afirmar:
No encontramos otro primo de Sheldon entre los primeros 200 000 primos.
El teorema de Pomerance y Spicer dice algo mucho más fuerte:
No existe ningún otro primo de Sheldon.
Ejecutar el programa en una computadora
También puede copiar el código y ejecutarlo localmente.
Primero debe instalar Python desde su sitio oficial:
https://www.python.org/downloads
Después:
- Copie el programa en un archivo llamado
sheldon73.py. - Abra una terminal o símbolo del sistema en esa carpeta.
- Ejecute:
python sheldon73.py
En algunas computadoras el comando puede ser:
python3 sheldon73.py
No es necesario instalar bibliotecas adicionales.
El artículo original
He colocado a disposición del lector una copia del artículo completo de Carl Pomerance y Chris Spicer:
Proof of the Sheldon Conjecture, Carl Pomerance and Chris Spicer
El PDF presenta una curiosidad editorial.
En su encabezado aparece la fecha 13 de febrero de 2019, pero en el pie de página conserva la indicación “January 2014” y la referencia “American Mathematical Monthly 121:1”.
Esto puede causar confusión, pero no corresponde a la fecha real de publicación.
El archivo parece ser una prueba de imprenta o una versión previa a la publicación que todavía conservaba datos de una plantilla anterior. La versión definitiva fue publicada en 2019 en The American Mathematical Monthly, volumen 126, número 8, páginas 688-698.
También comprobé que el archivo colocado en Boletín coincide exactamente con el PDF conservado por Carl Pomerance en su página académica de Dartmouth.
Por tanto, pese a esa anomalía de maquetación, el documento es auténtico y contiene la demostración matemática a la que nos hemos referido.
Una ocurrencia con consecuencias inesperadas
Sheldon Cooper era un personaje ficticio y su discurso sobre el 73 formaba parte de una comedia.
Sin embargo, las propiedades mencionadas eran verdaderas y suficientemente interesantes como para llamar la atención de matemáticos profesionales.
La historia muestra una faceta especialmente atractiva de las matemáticas: una observación puede comenzar como curiosidad, formularse con precisión, convertirse en conjetura y, finalmente, transformarse en teorema.
Sheldon afirmó que 73 era el mejor número.
Las matemáticas no pueden demostrar que sea “el mejor”, porque eso depende del criterio utilizado.
Pero Pomerance y Spicer sí demostraron algo extraordinario:
73 es el único número primo que cumple simultáneamente las propiedades del producto y del espejo.
En ese sentido, Sheldon tenía razón: el 73 es verdaderamente especial.
Resumen ejecutivo de la demostración formal
La demostración de Carl Pomerance y Chris Spicer no consiste simplemente en probar una gran cantidad de números primos. Su fortaleza está en convertir una búsqueda aparentemente infinita en un problema finito y completamente controlado.
Si pn representa el primo que ocupa la posición n, un primo de Sheldon debe cumplir simultáneamente:
Producto de los dígitos de pn = n
rev(pn) = prev(n)
El primer paso de los autores fue demostrar que cualquier candidato debía satisfacer una cota superior:
Esta desigualdad es fundamental: permite descartar de una sola vez todos los números posteriores. La búsqueda deja de ser infinita.
Después observaron que, como n es el producto de dígitos decimales, sus únicos factores primos posibles son:
Por tanto, todo índice candidato debía tener la forma:
Con esta reducción, los autores pudieron trabajar únicamente con los llamados números 7-suaves, en lugar de revisar todos los enteros.
Para los índices demasiado grandes como para calcular directamente el primo correspondiente, utilizaron aproximaciones rigurosas basadas en la inversa de la integral logarítmica:
Lo importante es que no utilizaron esta expresión como una estimación informal. Establecieron cotas explícitas para el error, lo que les permitió determinar con certeza cuántos dígitos tenía cada candidato y, en muchos casos, cuáles debían ser sus primeros o últimos dígitos.
A partir de esos dígitos aplicaron dos filtros decisivos:
- comprobar si el producto máximo posible de los dígitos podía alcanzar el índice n;
- comprobar si el número invertido podía coincidir con el primo cuyo índice era también el índice invertido.
Todos los candidatos fueron eliminados, excepto uno:
En términos formales, la demostración establece que 73 no es solamente el único caso encontrado en una búsqueda computacional: es el único caso matemáticamente posible.
Fuentes y referencias
- Carl Pomerance y Chris Spicer, “Proof of the Sheldon Conjecture”, The American Mathematical Monthly, volumen 126, número 8, páginas 688-698, 2019.
- Joel Byrnes, Chris Spicer y Alyssa Turnquist, “The Sheldon Conjecture”, Math Horizons, volumen 23, número 2, páginas 12-15, 2015.
- David Saltzberg, asesor científico de The Big Bang Theory y profesor de Física y Astronomía de UCLA.
- Documentación oficial de Python: https://www.python.org/.
Inicio del Episodio 73, en español.
Sheldon describes 73 as the best number.